Как решить линейное уравнение

Линейным называют уравнение, которое после упрощения сводится к виду a·x + b = 0, где a и b — числа, причём a не равно нулю. Неизвестное входит в него только в первой степени: ни квадрата, ни корня, ни переменной в знаменателе.

• Линейные: 3x − 7 = 11; 5(x − 3) + 2 = 3x + 1; 0,4x = 2.
• Не линейные: x² − 4 = 0 — вторая степень; 2 : x = 8 — переменная в знаменателе.

Не путайте «линейное» с «простое». Уравнение 7(2x − 5) − 3(4x + 1) = 2 тоже линейное, просто до вида a·x + b = 0 его ещё нужно довести: раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. Именно на этом шаге теряется большинство баллов, а вовсе не на делении в конце.

Один и тот же порядок действий решает любое линейное уравнение. Если выполнять шаги строго по очереди, ошибиться почти негде.

• Шаг 1. Избавиться от дробей: умножить обе части на общий знаменатель.
• Шаг 2. Раскрыть скобки. Помните: минус перед скобкой меняет знак каждого слагаемого внутри.
• Шаг 3. Перенести слагаемые с неизвестным в левую часть, числа — в правую. При переносе через знак равенства слагаемое меняет знак.
• Шаг 4. Привести подобные слагаемые слева и справа — получится вид a·x = c.
• Шаг 5. Разделить обе части на коэффициент a и подставить найденный корень в исходное уравнение для проверки.

Пятый шаг — не формальность. Проверка занимает 20 секунд и ловит почти все ошибки в знаках, а именно они дают неверный ответ чаще всего.

Обратите внимание на третий шаг: перенесли два слагаемых сразу, и оба поменяли знак. Если перенести только одно и забыть про знак второго, дальше всё будет арифметически верно, но ответ окажется другим — и найти такую ошибку без проверки подстановкой почти невозможно.

Дроби не делают уравнение сложнее — они просто добавляют нулевой шаг. Находим наименьший общий знаменатель всех дробей и умножаем на него каждое слагаемое обеих частей, включая те, что дробями не были.

Самая частая ошибка здесь — умножить на 6 только дроби и не тронуть единицу справа. Тогда вместо 6 в правой части останется 1, и корень получится неверным. Умножать нужно каждое слагаемое без исключения.

Иногда после приведения подобных неизвестное исчезает из обеих частей. Это не значит, что вы ошиблись, — это один из двух особых случаев.

• 2x + 3 = 2x + 5. Переносим: 2x − 2x = 5 − 3, получаем 0 = 2 — равенство неверное. Значит, корней нет ни при каком x.
• 2(x + 1) = 2x + 2. Раскрываем скобки: 2x + 2 = 2x + 2, получаем 0 = 0 — равенство верное всегда. Значит, подходит любое число, корней бесконечно много.
• 5x = 0. Коэффициент не равен нулю, поэтому корень ровно один: x = 0. Не путайте этот случай с предыдущими.

Проверьте себя по трём типичным ошибкам: забытый знак при переносе, потерянный минус при раскрытии скобок и деление только одной части на коэффициент. Если ответ не сходится при подстановке, ошибка почти наверняка в одном из этих трёх мест.