Как найти площадь треугольника
Формул площади треугольника несколько, и главный вопрос на контрольной — не как считать, а какую формулу выбрать под то, что дано в условии. Разберём пять способов, посчитаем каждый на числах и в конце сведём всё в короткое правило выбора.
Основная формула: половина основания на высоту
Площадь равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне: S = 0,5 · a · h. Основанием можно считать любую из трёх сторон — важно лишь, чтобы высота была проведена именно к ней.
Сторона равна 10 см, высота к ней — 6 см
- Подставляем в формулу: S = 0,5 · 10 · 6.
- Считаем: 0,5 · 60 = 30.
Ответ: 30 см²
Высота — это перпендикуляр из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону. У тупоугольного треугольника две из трёх высот падают за пределы фигуры, на продолжение стороны. Это нормально: формула работает и там, а вот подставить вместо высоты боковую сторону — уже ошибка.
Через две стороны и угол между ними
Если высота неизвестна, но даны две стороны и угол между ними, работает формула S = 0,5 · a · b · sin C, где C — угол именно между сторонами a и b.
Стороны 8 и 5 см, угол между ними 30 градусов
- Синус 30 градусов равен 0,5.
- Подставляем: S = 0,5 · 8 · 5 · 0,5.
- Считаем: 0,5 · 40 = 20, затем 20 · 0,5 = 10.
Ответ: 10 см²
Угол должен лежать между двумя взятыми сторонами. Если в условии дан угол при третьей стороне, формула даст неверный результат — тогда нужен другой путь: сначала найти недостающий элемент по теореме синусов или косинусов.
Формула Герона: когда известны три стороны
Если даны только три стороны, считают полупериметр p = (a + b + c) : 2, а затем площадь как квадратный корень из произведения p · (p − a) · (p − b) · (p − c).
Стороны 13, 14 и 15 см
- Полупериметр: (13 + 14 + 15) : 2 = 42 : 2 = 21.
- Разности: 21 − 13 = 8, 21 − 14 = 7, 21 − 15 = 6.
- Произведение: 21 · 8 · 7 · 6 = 7056.
- Извлекаем корень: корень из 7056 равен 84.
Ответ: 84 см²
Если под корнем получилось отрицательное число, треугольника с такими сторонами не существует — проверьте неравенство треугольника: каждая сторона должна быть меньше суммы двух других.
Прямоугольный и равносторонний
- Прямоугольный треугольник: катеты и есть основание с высотой, поэтому S равна половине их произведения. Для катетов 6 и 8 см получаем 0,5 · 6 · 8 = 24 см².
- Равносторонний треугольник со стороной a: площадь равна a², умноженному на корень из 3 и делённому на 4. Для стороны 6 см это 36 · 1,732 : 4, то есть примерно 15,6 см².
- Равнобедренный треугольник: высота к основанию делит его пополам, поэтому её легко найти по теореме Пифагора, а дальше работает основная формула.
Отдельно стоит помнить: медиана делит треугольник на две части равной площади, независимо от того, какой это треугольник. Это часто и есть решение задачи, где площадь самого треугольника считать не требуется.
Если в условии есть вписанная окружность, работает ещё одна формула: площадь равна полупериметру, умноженному на радиус этой окружности. Её удобно применять и в обратную сторону. Для треугольника со сторонами 13, 14 и 15 полупериметр равен 21, а площадь мы уже нашли по формуле Герона — 84 см². Значит, радиус вписанной окружности равен 84 : 21 = 4 см.
Какую формулу выбрать и где ошибаются
- Дана сторона и высота к ней — основная формула.
- Даны две стороны и угол между ними — формула с синусом.
- Даны три стороны — формула Герона.
- Треугольник прямоугольный — половина произведения катетов, это самый короткий путь.
- Взять за высоту боковую сторону. Высота — всегда перпендикуляр, и совпадает со стороной только в прямоугольном треугольнике.
- Забыть множитель 0,5 — тогда получится площадь параллелограмма, то есть вдвое больше нужного.
- Потерять единицы: площадь измеряется в квадратных единицах, см² и м², а не в см.
- Смешать единицы в одном действии: если сторона в метрах, а высота в сантиметрах, сначала приведите их к одной мере.
Застряли на своей задаче по этой теме? Сфотографируйте её в BrainBuddy — бот разберёт решение по шагам и объяснит каждый переход. Бесплатно 3 решения в день.
Частые вопросы
Можно ли считать площадь по формуле Герона, если известны не все стороны?
Нет, для неё нужны все три стороны. Если известны две стороны и угол между ними, используйте формулу с синусом.
Как найти высоту, если в условии её нет?
В прямоугольном треугольнике высотой служит катет. В равнобедренном высоту к основанию находят по теореме Пифагора. В общем случае высоту можно выразить из площади, найденной другим способом.
Почему у тупоугольного треугольника высота выходит за фигуру?
Потому что перпендикуляр из вершины попадает на продолжение стороны, а не на саму сторону. На формулу это не влияет: берут длину перпендикуляра и длину самой стороны.
В каких единицах записывать ответ?
В квадратных: если стороны даны в сантиметрах, площадь получится в см². Пропущенная степень в единицах — типичная потеря балла.